哺乳期结束公司不续签应支付经济补偿金。依据《女职工劳动保护特别规定》和《劳动法》，单位不得因哺乳期满解除劳动合同，否则需按工作年限每满一年支付一个月工资作为补偿，未及时处理可能导致法律纠纷及额外赔偿。
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哺乳期结束公司不续签的常见处理方式是协商或申请仲裁。首先尝试与公司协商解决，若协商无果，则可向劳动仲裁委员会申请仲裁，根据仲裁结果决定后续行动，以确保自身权益得到保障。
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哺乳期结束不续签可索赔。具体操作：1. 收集证据，如合同、工资单等；2. 尝试与公司协商，要求支付经济补偿金；3. 协商不成，向劳动仲裁委申请仲裁，提交证据；4. 等待仲裁结果，如不满可进一步诉讼。